সৃজনশীলঃ ‘(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a) একটি বীজগণিতীক…’ সরকারি বজ্রমোহন কলেজ ২০২৪ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত রাশি,

$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)$

$=x^2-ax-bx+ab+x^2-bx-cx+bc+x^2-cx-ax+ac$

$=3x^2-2ax-2bx-2cx+ab+bc+ac$

$=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)$

$\because$ প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণবর্গ।

$\therefore \{-2(a+b+c){\}}^2-4\cdot 3\cdot (ab+bc+ac)=0$

$\Rightarrow 4(a+b+c{)}^2-12(ab+bc+ca)=0$

$\Rightarrow 4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)-12(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow 4a^2+4b^2+4c^2+8ab+8bc+8ca-12ab-12ca-12ca=0$

$\Rightarrow 4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ca=0$

$\Rightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$ [2 দ্বারা ভাগ]

$\Rightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0$

$\Rightarrow (a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=0$

$\because$ বর্গের সমষ্টি শূন্য হতে হলে তাদের আলাদা আলাদা শূন্য হতে হবে।

$\therefore (a-b{)}^2=0$ এবং $(b-c{)}^2=0$ আবার, $(c-a{)}^2=0$

$a-b=0b-c=0(c-a{)}^2=0$

$a=bb=cc-a=0$

$\therefore a=b=c$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$(k^2-3)x^2+3kx+(3k+1)=0$

k = 2 হলে,

$(2^2-3)x^2+3\cdot 2\cdot x+(3\cdot 2+1)=0$

$\Rightarrow (4-3)x^2+6x+(6+1)=0$

$=x^2+6x+7=0......\left(i\right)$

(i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় m ও n

$\therefore m+n=\frac{-6}{1}$ এবং $m-10$

$\Rightarrow mn=7...\left(ii\right)m=-6...\left(iii\right)$

$\frac{m}{n^2}+\frac{n}{m^2}=\frac{m^3+n^3}{m^2{n}^2}$

$=\frac{(m+n{)}^3-3mn(m+n)}{(mn{)}^2}$

$=\frac{(-6{)}^3-3\cdot 7\cdot (-6)}{(7{)}^2}$ [(ii) নং ও (iii) নং হতে]

$=\frac{-216+121}{49}$

$\therefore \frac{m}{n^2}+\frac{n}{m^2}=\frac{-90}{49}$

আবার,

$\frac{m}{n^2}\cdot \frac{n}{m^2}=\frac{1}{m}$

$\therefore \frac{m}{n^2}\cdot \frac{n}{m^2}=\frac{1}{7}$

$\therefore \frac{m}{n^2}$ ও $\frac{n}{m^2}$মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিম্নরুপ:

$x^2-(\frac{m}{n^2}+\frac{n}{m^2})x+(\frac{m}{n^2}\cdot \frac{n}{m^2})=0$

$\Rightarrow x^2-\left(\frac{-90}{49}\right)x+\left(\frac{1}{7}\right)=0$

$\Rightarrow x^2+\frac{90x}{49}+\frac{1}{7}=0$

$\Rightarrow 49x^2+90x+7=0$ (Ans)