সৃজনশীলঃ ‘x=acos⁡P,y=bcos⁡Q এবং f(z)=tan⁡z⋅tan⁡3z.…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $x=a\cos p$

বা, $\cos p=\frac{x}{a}$

$\therefore p={\cos }^{-1}\frac{x}{a}$

এবং $y=b\cos Q$

বা, $\cos Q=\frac{y}{b}$

$\therefore Q={\cos }^{-1}\frac{y}{b}$

এখানে, $P+Q=\psi$

বা, ${\cos }^{-1}\frac{x}{a}+{\cos }^{-1}\frac{y}{b}=\psi$

বা, ${\cos }^{-1}\{\frac{x}{a}\cdot \frac{y}{b}-\sqrt{(1-\frac{x^2}{a^2})(1-\frac{y^2}{b^2})}\}=\psi$

বা, $\frac{xy}{ab}-\sqrt{(1-\frac{x^2}{a^2})(1-\frac{y^2}{b^2})}=\cos \psi$

বা, $-\sqrt{(1-\frac{x^2}{a^2})(1-\frac{y^2}{b^2})}=\cos \psi -\frac{xy}{ab}$

বা, $(1-\frac{x^2}{a^2})(1-\frac{y^2}{b^2})={\cos }^2\psi -2\frac{xy}{ab}\cos \psi +\frac{x^2{y}^2}{a^2{b}^2}$ [বর্গ করে]

বা, $1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2{y}^2}{a^2{b}^2}={\cos }^2\psi -2\frac{xy}{ab}\cos \psi +\frac{x^2{y}^2}{a^2{b}^2}$

বা, $-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2{y}^2}{a^2{b}^2}-\frac{x^2{y}^2}{a^2{b}^2}+2\frac{xy}{ab}\cos \psi ={\cos }^2\psi -1$

বা, $-(\frac{x^2}{a^2}-2\frac{xy}{ab}\cos \psi +\frac{y^2}{b^2})=-(1-{\cos }^2\psi )$

$\therefore \frac{x^2}{a^2}-2\frac{xy}{ab}\cos \psi +\frac{y^2}{b^2}={\sin }^2\psi \cdot$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(z\right)=\tan z\cdot \tan 3z$

এখন, $f\left(z\right)=1$ হলে,

$\tan z\cdot \tan 3z=1$

বা, $\frac{\sin z\sin 3z}{\cos z\cos 3z}=1$

বা, $\cos 3z\cos z=\sin 3z\sin z$

বা, $\cos 3z\cos z-\sin 3z\sin z=0$

বা, $\cos (3z+z)=0$

বা, $\cos 4z=0$

বা, $4z=(2n+1)\frac{\pi }{2};n\in Z$

$\therefore z=(2n+1)\frac{\pi }{8}$

$n=0$ হলে, $z=\frac{\pi }{8}$

$n=-1$ হলে, $z=-\frac{\pi }{8}$

$n=1$ হলে, $z=\frac{3\pi }{8}$

$n=-2$ হলে, $z=-\frac{3\pi }{8}$

$n=2$ হলে, $z=\frac{5\pi }{8};$ ইহা গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা $-\frac{\pi }{2}<z<\frac{\pi }{2}$

$-\frac{\pi }{2}<z<\frac{\pi }{2}$ ব্যবধিতে, $z=\frac{-3\pi }{8},\frac{-\pi }{8},\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{8}$

নির্ণেয় মান : $z=-\frac{3\pi }{8},-\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{8}$.