ㅤ

A. Nayan

13 Oct 2026 (2 weeks ago)

Dhaka, Narayanganj

সৃজনশীলঃ ‘x=cos⁡α,f(x)=2x…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

📘 ক্লাস ১১শ–১২শ🎓 গ্রুপ বিজ্ঞান📚 বই উচ্চতর গণিত📖 বিষয় ১ম পত্র📂 বিভাগ উচ্চতর গণিত🧩 অধ্যায় ৯ম অধ্যায় — অন্তরীকরণ🔢 সৃজনশীল নং ৩৮🏫 বোর্ড চট্টগ্রাম বোর্ড📅 সাল ২০২২⭐ গুরুত্ব ★★★★★

🔊 স্মার্ট বাংলা Text Readerসম্পূর্ণ বাক্য highlight · প্রশ্নের পর উত্তর · সরাসরি seek

০%

ভয়েস লোড হচ্ছে।

$x = \cos α, f (x) = 2 x$

✦ PREMIUM STUDY EXPERIENCE

সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

১ম পত্র · অধ্যায় ৯

✦উত্তর ও বিশ্লেষণANSWER

ধরি,

y = frac{1+sin t}{sin t}

Rightarrow y = frac{1}{sin t} + frac{sin t}{sin t}

Rightarrow y = frac{1}{sin t} + frac{sin t}{sin t}

Rightarrow y = csc t + 1

Rightarrow y = csc t + 1

এখন, $t$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

frac{dy}{dt} = frac{d}{dt} (csc t + 1)

Rightarrow frac{dy}{dt} = -csc t cot t + 0

Rightarrow frac{dy}{dt} = -csc t cot t + 0

therefore frac{dy}{dt} = -csc t cot t

therefore frac{dy}{dt} = -csc t cot t

এই প্রশ্ন ও উত্তরের মধ্যে যেকোনো জায়গায় যাও

০%

প্রথমে প্রশ্ন, তারপর উত্তর শুনতে চাপ দিন।

✦উত্তর ও বিশ্লেষণANSWER

দেওয়া আছে,

x = cos alpha Rightarrow alpha = cos^{-1} x

y = sin(aalpha)

y = sin(aalpha)

y = sin(aalpha)

Rightarrow y = sin(acos^{-1} x)

উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

frac{dy}{dx} = cos(acos^{-1} x) cdot frac{d}{dx} (acos^{-1} x)

frac{dy}{dx} = cos(acos^{-1} x) cdot frac{d}{dx} (acos^{-1} x)

Rightarrow frac{dy}{dx} = cos(acos^{-1} x) cdot a cdot left(frac{-1}{sqrt{1-x^2}}right)

Rightarrow frac{dy}{dx} = cos(acos^{-1} x) cdot a cdot left(frac{-1}{sqrt{1-x^2}}right)

Rightarrow sqrt{1-x^2} frac{dy}{dx} = -a cos(acos^{-1} x)

Rightarrow sqrt{1-x^2} frac{dy}{dx} = -a cos(acos^{-1} x)

পুনরায় উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ ( $uv$ মেথড প্রয়োগ) করে পাই,

sqrt{1-x^2} cdot frac{d}{dx} left(frac{dy}{dx}right) + frac{dy}{dx} cdot frac{d}{dx} (sqrt{1-x^2}) = -a cdot left( -sin(acos^{-1} x) right) cdot frac{d}{dx} (acos^{-1} x)

sqrt{1-x^2} cdot frac{d}{dx} left(frac{dy}{dx}right) + frac{dy}{dx} cdot frac{d}{dx} (sqrt{1-x^2}) = -a cdot left( -sin(acos^{-1} x) right) cdot frac{d}{dx} (acos^{-1} x)

Rightarrow sqrt{1-x^2} frac{d^2y}{dx^2} + frac{dy}{dx} cdot frac{1}{2sqrt{1-x^2}} cdot (-2x) = a sin(acos^{-1} x) cdot a cdot left(frac{-1}{sqrt{1-x^2}}right)

Rightarrow sqrt{1-x^2} frac{d^2y}{dx^2} + frac{dy}{dx} cdot frac{1}{2sqrt{1-x^2}} cdot (-2x) = a sin(acos^{-1} x) cdot a cdot left(frac{-1}{sqrt{1-x^2}}right)

Rightarrow sqrt{1-x^2} frac{d^2y}{dx^2} + frac{dy}{dx} cdot frac{1}{2sqrt{1-x^2}} cdot (-2x) = a sin(acos^{-1} x) cdot a cdot left(frac{-1}{sqrt{1-x^2}}right)

Rightarrow sqrt{1-x^2} frac{d^2y}{dx^2} - frac{x}{sqrt{1-x^2}} frac{dy}{dx} = frac{-a^2 sin(acos^{-1} x)}{sqrt{1-x^2}}

Rightarrow sqrt{1-x^2} frac{d^2y}{dx^2} - frac{x}{sqrt{1-x^2}} frac{dy}{dx} = frac{-a^2 sin(acos^{-1} x)}{sqrt{1-x^2}}

এখন, সমীকরণের উভয়পক্ষকে $sqrt{1-x^2}$ দ্বারা গুণ করে পাই,

(1-x^2) frac{d^2y}{dx^2} - x frac{dy}{dx} = -a^2 sin(acos^{-1} x)

যেহেতু $y = sin(acos^{-1} x)$ , মান বসিয়ে পাই,

(1-x^2) frac{d^2y}{dx^2} - x frac{dy}{dx} = -a^2y

(1-x^2) frac{d^2y}{dx^2} - x frac{dy}{dx} = -a^2y

therefore (1-x^2) frac{d^2y}{dx^2} - x frac{dy}{dx} + a^2y = 0 quad text{(প্রমাণিত)}

therefore (1-x^2) frac{d^2y}{dx^2} - x frac{dy}{dx} + a^2y = 0 quad text{(প্রমাণিত)}

এই প্রশ্ন ও উত্তরের মধ্যে যেকোনো জায়গায় যাও

০%

প্রথমে প্রশ্ন, তারপর উত্তর শুনতে চাপ দিন।

✦উত্তর ও বিশ্লেষণANSWER

ধরি,

y = f(x) + frac{1}{f(x)}

Rightarrow y = 2x + frac{1}{2x}

Rightarrow y = 2x + frac{1}{2x}

Rightarrow y = 2x + frac{1}{2}x^{-1}

Rightarrow y = 2x + frac{1}{2}x^{-1}

$x$ এর সাপেক্ষে পরপর দুবার অন্তরীকরণ করে পাই:

frac{dy}{dx} = 2 + frac{1}{2} (-1) x^{-2} = 2 - frac{1}{2x^2}

frac{d^2y}{dx^2} = 0 - frac{1}{2} (-2) x^{-3} = frac{1}{x^3}

frac{d^2y}{dx^2} = 0 - frac{1}{2} (-2) x^{-3} = frac{1}{x^3}

আমরা জানি, ফাংশনের গুরুমান (Maximum) বা লঘুমানের (Minimum) জন্য, $frac{dy}{dx} = 0$ হয়।

therefore 2 - frac{1}{2x^2} = 0

Rightarrow frac{1}{2x^2} = 2

Rightarrow frac{1}{2x^2} = 2

Rightarrow 4x^2 = 1

Rightarrow 4x^2 = 1

Rightarrow x^2 = frac{1}{4}

Rightarrow x^2 = frac{1}{4}

therefore x = pm frac{1}{2}

therefore x = pm frac{1}{2}

এখন দ্বিতীয় অন্তরজে মান বসিয়ে পরীক্ষা করি:

যখন $x = frac{1}{2}$ ,

frac{d^2y}{dx^2} = frac{1}{(1/2)^3} = frac{1}{1/8} = 8 > 0

যেহেতু দ্বিতীয় অন্তরজ ধনাত্মক, তাই $x = frac{1}{2}$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান (Minimum value) বিদ্যমান।

লঘুমান $= 2left(frac{1}{2}right) + frac{1}{2(1/2)} = 1 + frac{1}{1} = 2$

আবার, যখন $x = -frac{1}{2}$ ,

frac{d^2y}{dx^2} = frac{1}{(-1/2)^3} = frac{1}{-1/8} = -8 < 0

যেহেতু দ্বিতীয় অন্তরজ ঋণাত্মক, তাই $x = -frac{1}{2}$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান (Maximum value) বিদ্যমান।

গুরুমান $= 2left(-frac{1}{2}right) + frac{1}{2(-1/2)} = -1 + left(frac{1}{-1}right) = -1 - 1 = -2$

পর্যবেক্ষণ:

এখানে ফাংশনটির গুরুমান হলো $-2$ এবং লঘুমান হলো $2$ ।

যেহেতু $-2 < 2$ ,

$therefore$ ফাংশনটির গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। (দেখানো হলো)

এই প্রশ্ন ও উত্তরের মধ্যে যেকোনো জায়গায় যাও

০%

প্রথমে প্রশ্ন, তারপর উত্তর শুনতে চাপ দিন।

0 Views

No Comments

Share

No comments to “সৃজনশীলঃ ‘x=cos⁡α,f(x)=2x…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)”

A. Nayan

13 Oct 2026 (2 weeks ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘x=cos⁡α,f(x)=2x…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর