সৃজনশীলঃ ‘X=sin⁡α−cos⁡α,Y=cos⁡β−sin⁡β যেখানে α≠β,P=cosec20∘,Q=sec⁡20∘…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০১৯ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $X=\sin \alpha -\cos \alpha$ এবং $Y=\cos \beta -\sin \beta X=Y$ হলে, $\sin \alpha -\cos \alpha =\cos \beta -\sin \beta$

বা, $\sin \alpha +\sin \beta =\cos \alpha +\cos \beta$

বা, $2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}=2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

বা, $\sin \frac{\alpha +\beta }{2}=\cos \frac{\alpha +\beta }{2}$

বা, $\tan \frac{\alpha +\beta }{2}=\tan \frac{\pi }{4}$

বা, $\frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{\pi }{4}$

বা, $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$

$\therefore 2(\alpha +\beta )=\pi$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$P=\mathrm{cosec}{20}^{\circ }$ এবং $Q=\sec {20}^{\circ }$

বামপক $=P+\sqrt{3}Q$

$=\mathrm{cosec}{20}^{\circ }+\sqrt{3}\sec {20}^{\circ }$

$=\frac{1}{\sin {20}^{\circ }}+\frac{\sqrt{3}}{\cos {20}^{\circ }}$

$=\frac{1}{\sin {20}^{\circ }}+\frac{\tan {60}^{\circ }}{\cos {20}^{\circ }}$

$=\frac{1}{\sin {20}^{\circ }}+\frac{\sin {60}^{\circ }}{\cos {20}^{\circ }\cos {60}^{\circ }}$

$=\frac{\cos {60}^{\circ }\cos {20}^{\circ }+\sin {60}^{\circ }\sin {20}^{\circ }}{\cos {60}^{\circ }\sin {20}^{\circ }\cos {20}^{\circ }}$

$=\frac{\cos ({60}^{\circ }-{20}^{\circ })}{\frac{1}{2}\sin {20}^{\circ }\cos {20}^{\circ }}$

$=\frac{\cos {40}^{\circ }}{\frac{1}{4}\times 2\sin {20}^{\circ }\cos {20}^{\circ }}$

$=\frac{4\cos {40}^{\circ }}{\sin {40}^{\circ }}$

$=4\cot {40}^{\circ }=4\cot ({90}^{\circ }-{50}^{\circ })=4\tan {50}^{\circ }=$  ডানপক্ষ