সৃজনশীলঃ ‘xy(x2−y2)+yz(y2−z2)+zx(z2−x2) একটি বীজগণিতীয়…’ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ ২০২৬ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $\mathrm{xy}(x^2-y^2)+\mathrm{yz}(y^2-z^2)+\mathrm{zx}(z^2-x^2)=0$

বা, $xy(x^2-y^2)+y^{3}z-y{z}^3+z^{3}x-x^{3}z=0$

বা, $xy(x+y)(x-y)+z^3(x-y)-z(x^3-y^3)=0$

বা, $xy(x+y)(x-y)+z^3(x-y)-z(x-y)(x^2+xy+y^2)=0$

বা, $(x-y)(x^{2}y+x{y}^2+z^3-z{x}^2-xyz-y^{2}z)=0$

বা, $(x-y)(-xyz+x^{2}y+z^3-z{x}^2-y^{2}z+x{y}^2)=0$

বা, $(x-y)\{-xy(z-x)+z(z^2-x^2)-y^2(z-x\left)\right\}=0$

বা, $(x-y)\{-xy(z-x)+z(z+x\left)\right(z-x)-y^2(z-x\left)\right\}=0$

বা, $(x-y)(z-x)(-xy+z^2+zx-y^2)=0$

বা, $(x-y)(z-x)(z^2-y^2+zx-xy)=0$

বা, $(x-y)(z-x)(z-y)(z+y)+x(z-y)\}=0$

বা, $(x-y)(z-x)(z-y)(z-y)(z+y+x)=0$

যেহেতু $x\ne y\ne z$, সেহেতু $x-y\ne 0,z-x\ne 0,y\ne 0$.

$\therefore x+y+z=0$

বামপক্ষ $=\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}$

$=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$

$=\frac{\frac{1}{2}(x+y+z)\left\{\right(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2\}+3xyz}{xyz}$

$=\frac{\frac{1}{2}\times 0+3xyz}{xyz}=\frac{3xyz}{xyz}=3=$ ডানপক্ষ

$\therefore \frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}=3.$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=(2x+1)(x^2+2)$

এখন, $\frac{x^3}{P\left(x\right)}=\frac{x^3}{(2x+1)(x^2+2)}$

ধরি, $\frac{x^3}{(2x+1)(x^2+2)}\equiv \frac{1}{2}+\frac{A}{2x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+2}$ ...... (1)

(i) নং এর উভয়পক্ষকে $(2x+1)(x^2+2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^3\equiv \frac{(2x+1)(x^2+2)}{2}+A(x^2+2)+(Bx+C)(2x+1)$ ...... (2)

বা, $2x^3\equiv (2x+1)(x^2+2)+2A(x^2+2)+2(Bx+C)(2x+1)$

[2 দ্বারা গুণ করে]

বা, $2x^3\equiv 2x^3+4x+x^2+2+2A{x}^2+4A+4B{x}^2+2Bx+2C+4Cx$

বা, $2x^3\equiv 2x^3+x^2(1+2A+4B)+x(4+2B+4C)+(2+4A+2C)$ ...... (3)

(2) নং এ, $x=-\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই,

${(-\frac{1}{2})}^3=\frac{\{2(-\frac{1}{2})+1\}\{{(-\frac{1}{2})}^2+2\}}{2}+A\{{(-\frac{1}{2})}^2+2\}$

$+\{B(-\frac{1}{2})+C\}\{2(-\frac{1}{2})+1\}$

বা, $-\frac{1}{8}=0+A(\frac{1}{4}+2)+0$

বা, $-\frac{1}{8}=\frac{9A}{4}$

বা, $A=-\frac{4}{8\times 9}=-\frac{1}{18}$

(3) নং এর উভয় পক্ষ হতে $x^2$ ও $x$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$0=1+2A+4B$

বা, $1+2(-\frac{1}{18})+4B=0$

বা, $1-\frac{1}{9}+4B=0$

বা, $4B+\frac{8}{9}=0$

বা, $4B=-\frac{8}{9}$

বা, $B=-\frac{8}{9\times 4}=-\frac{2}{9}$

আবার, $0=4+2B+4C$

বা, $2+B+2C=0$

বা, $2-\frac{2}{9}+2C=0$

বা, $\frac{16}{9}+2C=0$

বা, $2C=-\frac{16}{9}$

বা, $C=-\frac{16}{9\times 2}=-\frac{8}{9}$

এখন, (1) নং হতে পাই,

$\frac{x^3}{(2x+1)(x^2+2)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{18(2x+1)}+\frac{\frac{-2x}{9}-\frac{8}{9}}{x^2+2}$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{18(2x+1)}+\frac{(-2x-8)}{9(x^2+2)}$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{18(2x+1)}-\frac{2(x+4)}{9(x^2+2)}$

এটিই হলো $\frac{x^3}{P\left(x\right)}$ এর আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ।