সৃজনশীলঃ ‘△XYZ-এ XY, ZX…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, $△\mathrm{XYZ}$-এর XY ও ZX বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N। M, N যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{YZ}$ এবং $\mathrm{MN}||\mathrm{YZ}$.

প্রমাণ : M ও N যথাক্রমে XY ও XZ এর মধ্যবিন্দু।
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{XM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{XN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{XZ}}$
$△\mathrm{XMN}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,
$\overrightarrow{\mathrm{XM}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{XN}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{XN}}-\overrightarrow{\mathrm{XM}}$ বা, $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{XZ}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{XZ}}-\overrightarrow{\mathrm{XY}})$ ..........(1)

আবার, $△\mathrm{XYZ}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,
$\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{XZ}}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{XZ}}-\overrightarrow{\mathrm{XY}}$ ..........(2)

(1) ও (2) হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{YZ}}$
বা, $|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=|\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{YZ}}|$$\therefore \mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{YZ}$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{YZ}}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{YZ}}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় MN এবং YZ সমান্তরাল।
$\therefore \mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{YZ}$ এবং $\mathrm{MN}||\mathrm{YZ}$. (প্রমাণিত)

এখানে, $△\mathrm{XYZ}$ এ XY, ZX এবং YZ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M, N এবং L. X, L; Y, N এবং Z, M যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে,

$\overrightarrow{XL}+\overrightarrow{YN}+\overrightarrow{ZM}=0.$

প্রমাণ : $△\mathrm{XYN}$ এ ভেষ্টর যোগে ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YN}=\overrightarrow{XN}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{XZ}}[\because \overrightarrow{\mathrm{XN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{XZ}}]$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{XZ}}=2(\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}})$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{XZ}}[\Delta \mathrm{xyz}$ এ ভেষ্টর যোগে ত্রিভুজ বিধি অনুসারে]

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{XZ}}-\overrightarrow{\mathrm{XY}}=2(\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}})-\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\overrightarrow{\mathrm{XY}}+2\overrightarrow{\mathrm{YN}}$

আবার, $△\mathrm{XYL}$ এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YL}}=\overrightarrow{\mathrm{XL}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{XL}}[\because \overrightarrow{\mathrm{YL}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{YZ}}]$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{XL}}=\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{XY}}+2\overrightarrow{\mathrm{YN}})=\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}$
$△\mathrm{XZM}$-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, $\overrightarrow{\mathrm{XZ}}+\overrightarrow{\mathrm{ZM}}=\overrightarrow{\mathrm{XM}}$

$\overrightarrow{\mathrm{XZ}}+\overrightarrow{\mathrm{ZM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}[\because \overrightarrow{\mathrm{XM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}]$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{ZM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}-\overrightarrow{\mathrm{XZ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}-2(\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}})$
$=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}-2\overrightarrow{\mathrm{XY}}-2\overrightarrow{\mathrm{YN}}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}-2\overrightarrow{\mathrm{YN}}$

বামপক্ষ $=\overrightarrow{\mathrm{XL}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}+\overrightarrow{\mathrm{ZM}}$

$=(\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}})+\overrightarrow{\mathrm{YN}}+(-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}-2\overrightarrow{\mathrm{YN}})$
$=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}-2\overrightarrow{\mathrm{YN}}$
$=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{XY}}+2\overrightarrow{\mathrm{YN}}-2\overrightarrow{\mathrm{YN}}=\underset{―}{0}=5$  ডানপক্ষ  সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{XL}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}+\overrightarrow{\mathrm{ZM}}=\underset{―}{0}$. (প্রমাণিত)