সৃজনশীলঃ ‘x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)…’ যশোর বোর্ড ২০১৭ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$x+y+z=1$

$lx+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=k$

$l^{2}x+m^{2}y+n^{2}z=k^2$

ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করে পাই,

$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ l& m& n\\ l^2& m^2& n^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ k\\ k^2\end{array}\right]\therefore \mathrm{AX}=B$

যেখানে, $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ l& m& n\\ l^2& m^2& n^2\end{array}\right]\text{, }$

$X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ এবং $B=\left[\begin{array}{c}1\\ k\\ k^2\end{array}\right]$

$\therefore \det \left(A\right)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ l& m& n\\ l^2& m^2& n^2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}1-1& 1-1& 1\\ l-m& m-n& n\\ l^2-m^2& m^2-n^2& n^2\end{array}\right|\begin{array}{c}[C_1{}^{\prime }=C_1-C_2;\\ C_2{}^{\prime }=C_1-C_3]\end{array}$

$=\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ l-m& m-n& n\\ l^2-m^2& m^2-n^2& n^2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{cc}l-m& m-n\\ l^2-m^2& m^2-n^2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{cc}l-m& m-n\\ (l+m)(l-m)& (m-n)(m+n)\end{array}\right|$

$=(l-m)(m-n)\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ l+m& m+n\end{array}\right|$

$=(l-m)(m-n)(m+n-l-m)$

$\therefore \det A)=(l-m\left)\right(m-n\left)\right(n-l)$ দেখানো হনো)

(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ হতে x, y ও z এর সহগ নিয়ে গঠিত

ম্যাট্রিক্স, $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ l& m& n\\ l^2& m^2& n^2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& -1\\ 1^2& 2^2& (-1{)}^2\end{array}\right][\because l=1,m=2,n=-1]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& -1\\ 1& 4& 1\end{array}\right]$

$\therefore |A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& -1\\ 1& 4& 1\end{array}\right|$

$=1(2+4)-1(1+1)+1(4-2)$

$=6-2+2=6\ne 0$

$\therefore A^{-1}$ নির্ণয়যোগ্য।

$\therefore \mathrm{adjA}={\left[\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& 1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 1\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 4\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|\end{array}\right]}^t$

$={\left[\begin{array}{ccc}6& -2& 2\\ 3& 0& -3\\ -3& 2& 1\end{array}\right]}^t=\left[\begin{array}{ccc}6& 3& -3\\ -2& 0& 2\\ 2& -3& 1\end{array}\right]$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}$ adj $A=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}6& 3& -3\\ -2& 0& 2\\ 2& -3& 1\end{array}\right]$ (Ans.)