সৃজনশীলঃ ‘x−y+z=22x+z=5x+2y−3z=−4…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৯ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

সমীকরণ প্রদত্ত জোট, $x-y+z=2$

$2x+z=5$

$x+2y-3z=-4$

এখন,$D=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 0& 1\\ 1& 2& -3\end{array}\right]$

$=1(0-2)+1(-6-1)+1(4-0)$

$=-2-7+4$

$=-5$

$D_x=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 2& 0& 1\\ 1& 2& -3\end{array}\right]$

$=2(0-2)+1(-15+4)+2(10-0)$

$=-4-11+10$

$=-5$

$D_y=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 5& 1\\ 1& -4& -3\end{array}\right]$

$=1(-15+4)-2(-6-1)+1(-8-5)$

$=-11+14-13$

$=-10$

এবং, $\mathrm{Dz}=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& 0& 5\\ 1& 2& -4\end{array}\right]$

$=-10-13+8=-15$

$\therefore \frac{D_x}{D}=\frac{-5}{-5}=1,$

$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-10}{-5}=2$

এবং, $z=\frac{D_z}{D}=\frac{-15}{-5}=3$

নির্ণেয় সমাধান : $(x,y,z)=(1,2,3)$

সমীকরণ প্রদত্ত জোট, $x-y+z=2$

$2x+z=5$

$x+2y-3z=-4$

সমীকরণ জোটের চলকসমূহের সহগগুলি নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স,

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 0& 1\\ 1& 2& -3\end{array}\right]$

$\therefore |A|=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 0& 1\\ 1& 2& -3\end{array}\right]$

$=1(0-2)+1(-6-1)+(4-0)$

$=-2-7+4$

$=-5\ne 0$

$\therefore A^{-1}$ নির্ণয় করা সম্ভব।

A ম্যাট্রিক্স এর সহগগুলো নিম্নরুপঃ

$A_{11}=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& -3\end{array}\right|$

$=0-2=-2$

$A_{12}=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -3\end{array}\right|$

$=-(-6-1)=7$

$A_{13}=\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 2\end{array}\right|$

$=4-4=4$

$A_{21}=\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -3\end{array}\right|$

$=-(3-2)=-1$

$A_{22}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -3\end{array}\right|$

$=-3-1=-4$

$A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right|$

$=-(2+1)=-3$

$A_{31}=\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|$

$=-1-0=-1$

$A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|$

$=-1(1-2)=1$

$A_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 0\end{array}\right|$

$=0+2=2$

$\mathrm{Adj}A={\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]}^T$

$={\left[\begin{array}{ccc}-2& 7& 4\\ -1& -4& -3\\ -1& 1& 2\end{array}\right]}^T$

$=\left[\begin{array}{ccc}-2& -1& -1\\ 7& -4& 1\\ 4& -3& 2\end{array}\right]$

$A^{-1}=\frac{\mathrm{Adj}A}{\left|A\right|}=\frac{1}{-5}$

$=\left[\begin{array}{ccc}-2& -1& -1\\ 7& -4& 1\\ 4& -3& 2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{5}& \frac{1}{5}& \frac{1}{5}\\ \frac{-7}{5}& \frac{4}{5}& \frac{-1}{5}\\ \frac{-4}{5}& \frac{3}{5}& \frac{-2}{5}\end{array}\right]$

নির্ণেয় বিপরীত ম্যাট্রিক্স $\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{5}& \frac{1}{5}& \frac{1}{5}\\ \frac{-7}{5}& \frac{4}{5}& \frac{-1}{5}\\ \frac{-4}{5}& \frac{3}{5}& \frac{-2}{5}\end{array}\right]$