সৃজনশীলঃ ‘y1=x,y2=x2 এবং y3=sin3⁡x.…’ ২০২৬ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{cc}& y_1=\sqrt{x}\\ & y_3={\sin }^{3}x\end{array}$

এবং ${\int }_0^a{y}_{1}dx=2a{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{y}_{3}dx$
বা, ${\int }_0^a\sqrt{x}dx=2a{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}xdx$
বা, ${\int }_0^a{x}^{\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{2}a{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}4{\sin }^{3}xdx$
বা, ${\left[\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]}_0^a=\frac{1}{2^a}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(3\sin x-\sin 3x)\mathrm{dx}$
বা, ${\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]}_0^a=\frac{1}{2}a{[-3\cos x+\frac{\cos 3x}{3}]}_0^{\frac{\pi }{2}}$
বা, $\frac{2}{3}{a}^{\frac{3}{2}}-0=\frac{1}{2}a(0+0+3-\frac{1}{3})$
বা, $\frac{2}{3}{a}^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}a\times \frac{8}{3}$
বা, $\frac{2}{3}{a}^{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}a$ বা, $\frac{a^{\frac{3}{2}}}{a}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}$ বা, $a^{\frac{1}{2}}=2$
বা, $a=2^2$ [বর্গ করে]

$\therefore a=4$

প্রদত্ত রাশি $={\int }_a^{a+1}xdx$ 

$\begin{array}{cc}& ={\int }_4^{4+1}xdx\\ & ={\int }_4^{5}xdx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_4^5\\ & =[\frac{5^2}{2}-\frac{4^2}{2}]=[\frac{25}{2}-\frac{16}{2}]=\frac{9}{2}\end{array}$ 

নির্ণেয় মান : $\frac{9}{2}$.

ধরি, $y=y_1=\sqrt{x}$$.....\left(1\right)$

এবং $y=y_2=x^2$$.....\left(2\right)$

(1) ও (2) নং হতে পাই,

$x^2=\sqrt{x}$

বা, $x^4=x$ [বর্গ করে]

বা, $x^4-x=0$

বা, $x(x^3-1)=0$

হয়, $x=0$ অথবা, $x^3-1=0$

বা, $x^3=1$

বা, $x=1$

অতএব, $x=0,1$

(1) নং ও (2) নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 

$\begin{array}{cc}& ={\int }_0^1(y_1-y_2)dx={\int }_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx\\ & ={\int }_0^1\sqrt{x}dx-{\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[\frac{\frac{x^2}{3}}{\frac{3}{2}}\right]}_0^1-{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1\end{array}$ 

$=(\frac{2}{3}-0)-(\frac{1}{3}-0)÷\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{1}{3}$ বর্গ একক।