সৃজনশীলঃ ‘y=2xln⁡11−x;f(x)=(1−x2)y2−xy1−a2y…’ রাজশাহী বোর্ড ২০১৯ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়াআছেবাবাनिर्ণেয়$\begin{array}{cc}& \text{ দেওয়া আছে, }y=2^x\mathrm{In}\frac{1}{1-x}\\ & =2^x\{\mathrm{In}1-\mathrm{In}(1-x\left)\right\}\\ & =2^x\{0-\mathrm{In}(1-x\left)\right\}\\ & \text{ বা, }y=-2^x\mathrm{In}(1-x)\\ & \text{ বা, }\frac{dy}{dx}=-\frac{d}{dx}{2}^x\mathrm{In}(1-x)\\ & =-\left[2^x\frac{d}{dx}\mathrm{In}\right(1-x)+\mathrm{In}(1-x\left)\frac{d}{dx}{2}^x\right]\\ & =-\left[2^x\frac{1}{(1-x)}\right(-1)+\mathrm{In}(1-x)\cdot 2^x\mathrm{In}2]\\ & =\frac{2^x}{1-x}-2^x\mathrm{In}2\cdot \mathrm{In}(1-x)\\ & =2^x\{\frac{1}{1-x}-\mathrm{In}2\cdot \mathrm{In}(1-x\left)\right\}\\ & \text{ निर्ণেয় }\frac{dy}{dx}=2^x\{\frac{1}{1-x}-\mathrm{In}2\cdot \mathrm{In}(1-x\left)\right\}\end{array}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=(1-x^2)y_2-x{y}_1-a^{2}y$ এবং ${\sin }^{-1}x=\frac{\mathrm{In}y}{a}$

বা, In $y=a{\sin }^{-1}x$

বা, $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=a\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ [ $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

বা, $\frac{1}{y}{y}_1=\frac{a}{\sqrt{1-x^2}}$

বা, $\frac{y_1^2}{y^2}=\frac{a^2}{1-x^2}$ [বর্গ করে]

বা, $(1-x^2)y_1^2=a^2{y}^2$

বা, $\frac{d}{dx}(1-x^2)y_1^2=\frac{d}{dx}{a}^2{y}^2$ [পুণরায় অন্তরীকরণ করে]

বা, $(1-x^2)\frac{d}{dx}{y}_1^2+y_1^2\frac{d}{dx}(1-x^2)=a^2\cdot 2y\cdot y_1$

বা, $(1-x^2)2y_1\cdot y_2-2x{y}_1^2=a^2\cdot 2y\cdot y_1$

বা, $(1-x^2)y_2-x{y}_1=a^{2}y$

বা, $(1-x^2)y_2-x{y}_1-a^{2}y=0$

$\therefore f\left(x\right)=0$. (দেখানো হলো)