সৃজনশীলঃ ‘y=acot⁡(ln⁡x),g(x)=ex.…’ ২০২৬ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $y=a\cot (\ln x)$$....\left(1\right)$
x-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=a\frac{d}{\mathrm{dx}}\cot (\ln x)$

বা, $y_1=-a{\mathrm{cosec}}^2(\ln x)\frac{d}{\mathrm{dx}}(\ln x)$
বা, $y_1=-\frac{a}{x}{\mathrm{cosec}}^2(\ln x)$$....\left(2\right)$

বা, ${\mathrm{xy}}_1=-a\{1+{\cot }^2(\ln x\left)\right\}$
বা, ${\mathrm{xy}}_1=-a\{1+{\left(\frac{y}{a}\right)}^2\}$$\left[\right(1)$ নং হতে$]$
বা, $x{y}_1=-a-\frac{y^2}{a}$$....\left(3\right)$
(3)নং কে $x$-এর সাপেক্ষে পুনরায় অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d}{dx}\left(x{y}_1\right)=\frac{d}{dx}(-a)-\frac{1}{a}\frac{d}{dx}\left(y^2\right)$

বা, $\frac{d{y}_1}{dx}+y_1\frac{dx}{dx}=-\frac{1}{a}2y\frac{dy}{dx}$
বা, $x{y}_2+y_1=-\frac{1}{a}2y{y}_1$
বা, $x^2{y}_2+{\mathrm{xy}}_1=-\frac{2y}{a}{\mathrm{xy}}_1$ [উভয়পক্ষকে x দ্বরা গুণ করে]
বা, $x^2{y}_2+x{y}_1=-\frac{2y}{a}x\{-\frac{a}{x}{\mathrm{cosec}}^2(\ln x\left)\right\}$
[(2) নং হতে]
$\therefore x^2{y}_2+{\mathrm{xy}}_1=2y{\mathrm{cosec}}^2(\ln x)$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=e^x$
ধরি, $y=16g\left(3x\right)+25g(-3x)$
বা, $y=16e^{3x}+25e^{-3x}$
বা, $\frac{dy}{dx}=16\times 3e^{3x}-25\times 3e^{-3x}$
বা, $\frac{dy}{dx}=48e^{3x}-75e^{-3x}$
বা, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=48\times 3e^{3x}+75\times 3e^{-3x}$
বা, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=144e^{3x}+225e^{-3x}$
লঘুমান গুরুমানের জন্য, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0$
বা, $48e^{3x}-75e^{-3x}=0$
বা, $48e^{3x}-\frac{75}{e^{3x}}=0$
বা, $48e^{3x}=\frac{75}{e^{3x}}$
বা, ${\left(e^{3x}\right)}^2=\frac{75}{48}=\frac{25}{16}$
বা, $e^{3x}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$
বা, $e^{3x}=\frac{5}{4}$ 

বা, $3x=\ln \frac{5}{4}$
বা, $x=\frac{1}{3}\ln \left(\frac{5}{4}\right)$
$\therefore x=\frac{1}{3}\ln \left(\frac{5}{4}\right)$ বিন্দুতে, 

$\begin{array}{cc}\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}& =144e\{3\times \frac{1}{3}\ln \left(\frac{5}{4}\right)\}+225e\{-3\times \frac{1}{3}\ln \left(\frac{5}{4}\right)\}\\ & =144e^{\ln \left(\frac{5}{4}\right)}+225e^{-\ln \left(\frac{5}{4}\right)}\\ & =144e^{\ln \left(\frac{5}{4}\right)}+225e^{\ln \left(\frac{4}{5}\right)}\\ & =(144\times \frac{5}{4})+(225\times \frac{4}{5})=180+180=360>0\end{array}$ 

$\therefore x=\frac{1}{3}\ln \left(\frac{5}{4}\right)$ বিন্দুতে y এর লঘুমান বিদ্যমান। 

$\therefore$ লঘুমান, $y=16e^{\{3\cdot \frac{1}{3}\ln \left(\frac{4}{3}\right)\}}+25e^{\{-3\cdot \frac{1}{3}\ln \left(\frac{4}{3}\right)\}}$ 

$\begin{array}{cc}& =16e^{\ln \left(\frac{5}{4}\right)}+25e^{-\ln \left(\frac{5}{4}\right)}=16e^{\ln \frac{5}{4}}+25e^{\ln \left(\frac{4}{5}\right)}\\ & =(16\times \frac{5}{4})+(25\times \frac{4}{5})=20+20=40\end{array}$ 

নির্ণেয় লঘুমান 40.