সৃজনশীলঃ ‘y=ax2+bx+c এবং x′p2+x2q2=1…’ সরকারি বজ্রমোহন কলেজ ২০২৪ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$y=a{x}^2+bx+c....\left(i\right)$

(i) নং কণিকটি পড়াবৃত্ত্ এটি (0,5) বিন্দুগামী।

$\therefore 5=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$

$\therefore c=5$

(i) নং এ C এর মান বসিয়ে পাই,

$y=a{x}^2+bx+5$

$\Rightarrow a{x}^2+bx+5=y$

$\Rightarrow a{x}^2+bx=y-5$

$\Rightarrow a(x^2+\frac{b}{a}x)=y-5$

$\Rightarrow a\cdot x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)=y-5+a\cdot {\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$

$\Rightarrow a{(x+\frac{b}{2a})}^2=y-5+\frac{b^2}{4a}$

$\Rightarrow {(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{1}{a}(y+\frac{b^2}{4a}-5)$

$\therefore {(x+\frac{b}{2a})}^2=4\cdot \frac{1}{4a}(y+\frac{b^2}{4a}-5)....\left(ii\right)$

(ii) নং পরাবৃত্তকে পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ

$x^2=4a^{\prime }y$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$X=x+\frac{b}{2a},Y=y+\frac{b^2}{4a}-5,a^{\prime }=\frac{1}{4a}$

পরাবৃত্তের শীর্ষ বিন্দু (0,0)

$\therefore x=0$ এবং $y=0$

$\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=0\Rightarrow y+\frac{b^2}{4a}-5=0$

$\therefore x=-\frac{b}{2a}\therefore y=5-\frac{b^2}{4a}$

$\therefore$ নং পরাবৃত্তের শীর্ষ বিন্দু $(-\frac{b}{2a},5-\frac{b^2}{4a})$

প্রশ্নমতে,

$\frac{-b}{2a}=-2$

$b=4a....\left(iii\right)$

এবং,

$5-\frac{b^2}{4a}=3$

$\Rightarrow -\frac{(4a{)}^2}{4a}=3-5$ [(iii) নং হতে]

$\Rightarrow -\frac{16a^2}{4a}=-2$

$\Rightarrow 4a=2$

$\therefore a=\frac{1}{2}$

(iii) নং a এর মান বসিয়ে পাই,

$b=4\cdot \frac{1}{2}=2$

$\therefore a=\frac{1}{2},b=2,b=5$

$\therefore a+b+c=\frac{1}{2}+2+5=\frac{15}{2}$

দেওয়া আছে,

$\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{z^2}=1......\left(i\right)$

উৎকেন্দ্রিক, $e=\frac{1}{3}$

এবং বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য = 8

$\therefore 2p=8$

p = 4

$e=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \sqrt{1-\frac{q^2}{p^2}}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow 1-\frac{q^2}{p^2}=\frac{1}{9}${ [বর্গ করে]

$\Rightarrow -\frac{q^2}{p^2}=\frac{1}{9}-1$

$\Rightarrow -\frac{q^2}{p^2}=-\frac{8}{9}$

$\Rightarrow \frac{q^2}{p^2}=\frac{8}{9}$

$\Rightarrow q^2=\frac{8}{9}{p}^2$

$\Rightarrow q^2=\frac{8}{9}\times 4^2$

$\Rightarrow \therefore q^2=\frac{128}{9}$

$\therefore p^2+q^2=4^2+\frac{128}{9}$

$=16+\frac{128}{9}$

$=\frac{144+128}{9}$

$\therefore p^2+q^2=\frac{272}{9}$ Ans.