সৃজনশীলঃ ‘y=ax2+bx+c একটি পরাবৃত্তের…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $y={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$ .......... (1)

(1)নং পরাবৃত্ত $y$ অক্ষের সমান্তরাল

শীর্ষ $(\alpha ,\beta )=(4,5)$

$\therefore$ আমরা জানি, $(x-\alpha {)}^2=4a(y-\beta )$

বা, $(x-4{)}^2=4a(y-5)$ ......... (2)

(2)নং পরাবৃত্তটি $(0,1)$ বিন্দুগামী,

$\therefore (0-4{)}^2=4a(1-5)$

বা, $16=4a\times (-4)$

$\therefore a=-1$

a এর মান (2)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$(x-4{)}^2=4(-1\left)\right(y-5)$

বা, $x^2-8x+16=-4y+20$

বা, $4y=-x^2+8x+4$

বা, $y=-\frac{1}{4}{x}^2+2x+1$ ....... (3)

(1)নং ও (3)নং তুলনা করে পাই,

এবং$a=-\frac{1}{4},b=2\text{ এবং }c=1$

নির্ণেয় মান : $a=-\frac{1}{4},b=2$ এবং $c=1$.

দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র $S(4,5)$

এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ $2y=7$ বা, $2y-7=0$

ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$.

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP=PM

বা, ${\mathrm{SP}}^2={\mathrm{PM}}^2$

বা, $(x-4{)}^2+(y-5{)}^2={\left|\frac{2y-7}{\sqrt{0+2^2}}\right|}^2$

বা, $(x-4{)}^2+(y-5{)}^2=\frac{(2y-7{)}^2}{4}$

বা, $4(x-4{)}^2+4(y^2-10y+25)=(2y-7{)}^2$

বা, $4(x-4{)}^2+4y^2-40y+100=4y^2-28y+49$

বা, $4(x-4{)}^2=12y-51$

বা, $4(x-4{)}^2=12(y-\frac{17}{4})$

বা, $(x-4{)}^2=4\cdot \left(\frac{3}{4}\right)(y-\frac{17}{4})$

বা, $X^2=4aY$; যেখানে, $X=x-4,Y=y-\frac{17}{4}$ এবং $a=\frac{3}{4}$

শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(X,Y)=(0,0)$

অর্থাৎ, $X=0$

বা, $x-4=0$

$\therefore x=4$

এবং $Y=0$

বা, $y-\frac{17}{4}=0$

$\therefore y=\frac{17}{4}$

$\therefore$ শীর্ষবিন্দু $(\alpha ,\beta )=(4,\frac{17}{4})$

$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক

$=(\pm 2a+\alpha ,a+\beta )$

$=(\pm \frac{3}{2}+4,\frac{3}{4}+\frac{17}{4})=(\frac{11}{2},5)$ এবং $(\frac{5}{2},5)$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{11}{2},5)$ এবং $(\frac{5}{2},5)$.