সৃজনশীলঃ ‘y=eag(x)এবং f(x)=1x…’ ঝিনাইদহ ক্যাডেট কলেজ ২০২৪ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $y=e^{\mathrm{ag}\left(x\right)}$

$\therefore y=e^{a{\sin }^{-1}x}[\because g(x)={\sin }^{-1}x]$

$x$এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তর্রীকরণ করে পাই,

বা, $\frac{dy}{dx}=a{e}^{a{\sin }^{-1}x}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$বা, $\sqrt{1-x^2}\cdot \frac{dy}{dx}=a.e^{a{\sin }^{-1}x}$

বা, $\sqrt{1-x^2}\cdot \frac{dy}{dx}=a.y[\because y=e^{a{\sin }^{-1}x}]$

বা, $(1-x^2){\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=a^2{y}^2$

বা, $(1-x^2)\cdot 2\frac{dy}{dx}\cdot \frac{d^{2}y}{d{x}^2}+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\cdot (-2x)=a^2\cdot 2y\cdot \frac{dy}{dx}$

বা, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}(1-x^2)-x\cdot \frac{dy}{dx}=a^{2}y$

$\therefore (1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\cdot \frac{dy}{dx}-a^{2}y=0$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{1}{x}\therefore f\left(x\right)+f(x{)}^{-1}=x+\frac{1}{x}$

ধরি, $y=x+\frac{1}{x}\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=1-\frac{1}{x^2}$

গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, $\frac{dy}{dx}=0$

বা, $1-\frac{1}{x^2}=0$ বা, $x^2=1$ বা, $x=\pm 1$

আবার, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{2}{x^3}$

$x=1$ হলে, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{2}{1}=2>0$

$\therefore x=1$বিন্দুতেফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।

অতএব, লঘুমান $=1+\frac{1}{1}=2$ (Ans.)

$x=-1$ হলে, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{2}{(-1{)}^3}=-2<0$

$\therefore x=-1$বিন্দুতেফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।

অতএব, গুরুমান $=(-1)+\frac{1}{-1}=-2$ (Ans.)

সুতরাং, ফাংশনটির গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। (দেখানো হলো)