সৃজনশীলঃ ‘y=f(x) এর লেখচিত্র…’ ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

লেখচিত্রটি $\cos x$এর

$\therefore f\left(x\right)=\cos x$

$f\left(x^{\circ }\right)=\cos x^{\circ }=\cos \frac{x\pi }{180}$

$=\cos \mathrm{kx}$  [ধরি, $k=\frac{\pi }{180}$]

ধরি, $g\left(x\right)=y=\frac{1}{f\left(x^{\circ }\right)}$

$\therefore g\left(x\right)=\frac{1}{\cos kx}=\sec kx$

$g(x+h)=\sec k(x+h)=\sec (kx+kh)$

মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে,

$\frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}[\sec (kx+kh-\sec kx\left)\right]$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}[\frac{1}{\cos (kx+kh)}-\frac{1}{\cos kh}]$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos kx-\cos (kx+kh)}{h\cdot \cos (kx+kh)\cdot \cos kx}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2\sin \left(\frac{kx+kx+kh}{2}\right)\cdot \sin \frac{kx+kh-kx}{2}}{h\cdot \cos (kx+kh)\cdot \cos kx}$

$=2\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin \frac{kh}{2}}{h}\cdot \frac{\sin (kx+\frac{kh}{2})}{\cos (kx+kh)\cdot \cos kx}$

$=2\underset{\pi h\to 0}{lim}\frac{\sin \frac{kh}{2}}{\frac{kh}{2}}\frac{k}{2}\times \underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin (kx+\frac{kh}{2})}{\cos (kx+kh)\cdot \cos kx}$

$\therefore h\to 0,\pi h\to 0$

$=2.1.\frac{k}{2}\times \frac{\underset{h\to 0}{lim}\sin (kx+\frac{kh}{2})}{\underset{h\to 0}{lim}\cos (kx+kh)\cdot \cos kx}$

$=2\cdot \frac{k}{2}\cdot \frac{\sin kx}{\cos kx\cdot \cos kx}=k\sec kx\tan kx$

$=\frac{\pi }{180}\cdot \sec \frac{x\pi }{180}\cdot \tan \frac{x\pi }{180}$ [k এরমানবসিয়ে]$

$\therefore \frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{\pi }{180}\sec \frac{x\pi }{180}\cdot \tan \frac{x\pi }{180}$

‘খ’ হতেপ্রাপ্ত, $f\left(x\right)=\cos x$

$\therefore f(\frac{\pi }{2}-x)=\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x$

আবার, $z=a+2f(\frac{\pi }{2}-x)+3\left\{f\right(x){\}}^2;0\le x\le \frac{\pi }{2}$

ধরি, $z=g\left(x\right)=a+2\sin x+3{\cos }^{2}x$

$\therefore g^{\prime \prime }\left(x\right)=0+2\cos x+6\cos .(-\sin x)$

[ $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

$=2\cos x-6\sin x\cdot \cos x$

$\therefore g^{\prime \prime }\left(x\right)=2(-\sin x)-6(-\sin x\sin x+\cos x\cdot \cos x)$

[আবার, $x$এরসাপেক্ষেঅন্তরীকরণকরে]

$=-2\sin x-6(\cos x-\sin x)$

$=-2\sin x-6(1-2{\sin }^{2}x)$

চরমমানের জন্য,

$g^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $2\cos x-6\sin x\cdot \cos x=0$

বা, $2\cos x(1-3\sin x)=0$

বা, $\cos x(1-3\sin x)=0$

হয়, $\cos x=0$

বা, $\cos x=\cos \frac{\pi }{2}$

$\therefore x=\frac{\pi }{2}$

অথবা, $1-3\sin x=0$

বা, $\sin x=\frac{1}{3}$

$\therefore x={\sin }^{-1}\frac{1}{3}$

$x=\frac{\pi }{2}$ হলে, $g^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=-2.1-6(0-1)$$=4>0$

$\therefore x=\frac{\pi }{2}$ এর জন্য $g\left(x\right)$ এর লঘুমান বিদ্যমান

$\therefore$ লঘুমান $=g\left(\frac{\pi }{2}\right)=a+2\cdot 1+3\cdot 0=a+2$

আবার, $x={\sin }^{-1}\frac{1}{3}$ হলে,

$g^{\prime \prime }({\sin }^{-1}\frac{1}{3})=-2\cdot \frac{1}{3}-6(1-2\cdot \frac{1}{9})=\frac{-16}{3}<0$

$\therefore x={\sin }^{-1}\frac{1}{3}$ এরজন্য, $g\left(x\right)$ এর গুরুমান বিদ্যমান

$\therefore$ গুরুমান $=g({\sin }^{-1}\frac{1}{3})=a+2\cdot \frac{1}{3}+3(1-\frac{1}{9})$

$=a+\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=a+\frac{10}{3}$

নির্ণেয় লঘুমান $=a+2$ এবং গুরুমান $=a+\frac{10}{3}$.