সৃজনশীলঃ ‘y=sin⁡(msin−1x)এবং উপবৃত্ত x2a2+y2b2=1.…’ কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $y=\sin (m{\sin }^{-1}x)$

বা, $\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\sin \left(m{\sin }^{-1}x\right)$ [ $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

বা, $\frac{dy}{dx}=\cos (m{\sin }^{-1}x)\times \frac{d}{dx}(m{\sin }^{-1}x)$

বা, $\frac{dy}{dx}=\sqrt{{\cos }^2(m{\sin }^{-1}x)}\times m\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

বা, $\frac{dy}{dx}=\sqrt{1-{\sin }^2(m{\sin }^{-1}x)}\times \frac{m}{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{1-y^2}\times \frac{m}{\sqrt{1-x^2}}$

বা, $\sqrt{1-x^2}\frac{dy}{dx}=m\sqrt{1-y^2}$

বা, $(1-x^2){\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=m^2(1-y^2)$ [বর্গ করে]

বা, $(1-x^2)\cdot 2\frac{dy}{dx}\cdot \frac{d^{2}y}{d{x}^2}+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2(0-2x)=m^2(0-2y\frac{dy}{dx})$

[পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

বা, $(1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{dx}=-m^{2}y$

$\therefore (1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{\left(dx\right)}+m^{2}y=0$ (দেখানো হলো)

প্রদত্ত উপবৃত্ত, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

বা, $\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}$

বা, $y^2=b^2(1-\frac{x^2}{a^2})=\frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)$

বা, $y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$

'+' চিহ্ন নিয়ে, $y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}[\because x$-অক্ষের উপরের অংশে $y$ ধনাত্মক]

$\therefore$ উপবৃত্তের AOB অংশের ক্ষেত্রফল,

${\int }_0^{a}ydx={\int }_0^a\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{b}{a}{\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{b}{a}{[\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{x}{a}]}_0^a$

$=\frac{b}{a}[(0+\frac{a^2}{2}{\sin }^{-1}1)-(0+\frac{a^2}{2}{\sin }^{-1}0)]$

$=\frac{b}{a}\cdot \frac{a2}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{1}{4}\pi ab$ বর্গ একক

$\therefore$ সমগ্র উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল $=4\times \frac{1}{4}\pi \mathrm{ab}$ বর্গ একক $=\pi \mathrm{ab}$ বর্গ একক।