সৃজনশীলঃ ‘z1=−1−i3,z2=3−i,a=p+iq3 এবং b=x+iy…’ রংপুর ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

[বি.দ্র.: a, b, p এবং q এর পরিবর্তে যথাক্রমে p,q, a এবং b হবে]

দেওয়া আছে. $p=\sqrt[3]{a+ib}$ এবং $q=x+iy$

এখন, $p=q$ হলে

$\sqrt[3]{a+ib}=x+iy$

বা,$a+ib=(x+iy{)}^3$ [ঘন করে]

বা,$a+ib=x^3+3x^2$. iy $+3x(iy{)}^2+(iy{)}^3$.

বা,$a+ib=x^3+3x^{2}y\cdot i-3x{y}^2-i{y}^3[i^3=-i]$

বা,$a+ib=x^3-3x{y}^2+(3x^{2}y-y^3)i$

উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,

$a=x^3-3x{y}^2$ এবং $b=3x^{2}y-y^3$

এখন, $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=\frac{x^3-3x{y}^2}{x}+\frac{3x^{2}y-y^3}{y}$

বা,$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=x^2-3y^2+3x^2-y^2$

বা,$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=4x^2-4y^2$

বা,$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=4(x^2-y^2)$

$\therefore 4(x^2-y^2)=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}($ প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $z_1=-1-i\sqrt{3}$

$\therefore {\overline{z}}_1=-1+i\sqrt{3}$

$\therefore {\left(\frac{1}{2}{\overline{z}}_1\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}{z}_1\right)}^n={\left\{\frac{1}{2}\right(-1+\sqrt{3}i\left)\right\}}^n+{\left\{\frac{1}{2}\right(-1-\sqrt{3}i\left)\right\}}^n$

$={\omega }^n+{\left({\omega }^2\right)}^n={\omega }^n+{\omega }^{2n}$

এখানে, $n=3m$ হলে, ${\left(\frac{1}{2}{\overline{z}}_1\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}{z}_1\right)}^n={\omega }^n+{\omega }^{2n}$

$={\omega }^{3m}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m}$

$={\left({\omega }^3\right)}^m+{\left({\omega }^3\right)}^{2m}$

$=1+1[\because {\omega }^3=1]$

$=2$

$n=3m+1$ হলে ${\left(\frac{1}{2}{\overline{z}}_1\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}{z}_1\right)}^n={\omega }^n+{\omega }^{2n}$

$={\omega }^{3m+1}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m+1}$

$={\left({\omega }^3\right)}^m\cdot \omega +{\left({\omega }^3\right)}^{2m}\cdot {\omega }^2$

$=\omega +{\omega }^2[\because {\omega }^3=1]$

$n=3m+2$ হলে, ${\left(\frac{1}{2}{\overline{z}}_1\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}{z}_1\right)}^n={\omega }^n+{\omega }^{2n}$

$=-1[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

$={\omega }^{3m+2}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m+2}$

$={\left({\omega }^3\right)}^m\cdot {\omega }^2+{\left({\omega }^3\right)}^{2m}\cdot {\left({\omega }^2\right)}^2$

$=1\cdot {\omega }^2+1\cdot {\omega }^3\cdot \omega ={\omega }^2+\omega$

$=-1[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

অতত্রব, ${\left(\frac{1}{2}{\overline{z}}_1\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}{z}_1\right)}^n=2$, যখন $n$ এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য

অথবা, ${\left(\frac{1}{2}{\overline{z}}_1\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}{z}_1\right)}^n=-1$ যখন $n$ এর মান অন্য যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হয়। (প্রমাণিত)