সৃজনশীলঃ ‘z1=1+ia,z2=a+i এবং |z+2|+|z−2|=6,z=x+iy…’ বরিশাল বোর্ড ২০২২ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $z_1=1+\mathrm{ia},z_2=a+i$

$a=\sqrt{3}$ হলে, $z_1=1+\sqrt{3}i$

এবং $z_2=\sqrt{3}+i$

এখন, $\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+\sqrt{3}i}{\sqrt{3}+i}$

$=\frac{(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}\mid$ লব ও হরকে $(\sqrt{3}-i)$ দ্বারা গুণ করে]

$\therefore =\frac{\sqrt{3}-i+3i-\sqrt{3}{i}^2}{(\sqrt{3}{)}^2-i^2}$

$=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{3})+2i}{3+1}[\because i^2=-1]$

$=\frac{2\sqrt{3}+2i}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$

আবার, $\arg \left(z_1\right)=\arg (1+\sqrt{3}i)$

এবং$\begin{array}{cc}& ={\tan }^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)=\frac{\pi }{3}\\ \text{ এবং }\arg \left(z_2\right)& =\arg (\sqrt{3}+i)\\ & ={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi }{6}\end{array}$

বামপক্ষ $=\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)$

$=\arg (\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$

$={\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$

$={\tan }^{-1}(\frac{1}{2}\times \frac{2}{\sqrt{3}})$

$={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi }{6}$

ডানপক্ষ $=\arg \left(z_1\right)-\arg \left(z_2\right)$

$=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{6\pi -3\pi }{18}=\frac{3\pi }{18}=\frac{\pi }{6}$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ

$\therefore \arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg \left(z_1\right)-\arg \left(z_2\right).$. (দেখানো হলো )

দেওয়া আছে, $|z+2|+|z-2|=6$

বা, $|x+iy+2|+|x+iy-2|=6[\because z=x+iy]$

বা,$\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}=6$.

বা,$\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}=6-\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}$

বা, $(x+2{)}^2+y^2=6^2+(x-2{)}^2+y^2-2\cdot 6\cdot \sqrt{(x-2{)}^2+y^2}$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,$x^2+4+4x+y^2=36+x^2+4-4x+y^2-12\sqrt{x^2+4-4x+y^2}$

বা,$4x+4x-36=-12\sqrt{x^2+y^2-4x+4}$

বা,$8x-36=-12\sqrt{x^2+y^2-4x+4}$

বা,$2x-9=-3\sqrt{x^2+y^2-4x+4}$

বা, $(2x-9{)}^2=x{(-3\sqrt{x^2+y^2-4x+4})}^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,$4x^2+81-36x=9(x^2+y^2-4x+4)$

বা,$9x^2+9y^2-36x+36-4x^2+36x-81=0$

বা, $5x^2+9y^2=45$ বा, $\frac{5x^2}{45}+\frac{9y^2}{45}=1$ [উভয়পকককে 45 দ্বারা ভাগ করে]

বা,$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$

বা,$\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{5}{)}^2}=1$

(1) যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।

(1) নং কে উবৃত্তের প্রমিক সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $a=3$ এবং $b=\sqrt{5}$

এখানে, a > b, সুতরাং বৃহদাক্ষ X-অক্ষ বরাবর।

$\therefore$ উপবৃত্তটির বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য $=2a=2\times 3=6$ একক

$\therefore$ উপবৃত্তটির ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য $=2b=2\times \sqrt{5}=2\sqrt{5}$ একক।