সৃজনশীলঃ ‘z1=1+ix,z2=a+ib এবং z3=x+iy…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $z_1=1+\mathrm{ix}$ এবং $z_2=a+\mathrm{ib}$

এখন, ${\left|z_2\right|}^2=1$ হলে, ${\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2=1$

বা, $a^2+b^2=1$

আবার, $\frac{\overline{z_1}}{z_1}=\overline{z_2}$

বা, $\frac{1-ix}{1+ix}=a-ib$

বা, $\frac{1-ix-1-ix}{1-ix+1+ix}=\frac{a-ib-1}{a-ib+1}$ (বিয়োজন-যোজন করে)

বা, $\frac{-2\mathrm{ix}}{2}=\frac{a-1-\mathrm{ib}}{(a+1)-\mathrm{ib}}$

বা, $-ix=\frac{(a-1-ib)(a+1+ib)}{\left\{\right(a+1)-ib\}\left\{\right(a+1)+ib\}}$

$=\frac{a^2+a+iab-a-1-ib-iab-ib-i^2{b}^2}{(a+1{)}^2-(ib{)}^2}$

$=\frac{a^2+b^2-1-2ib}{a^2+2a+1+b^2}$

বা, $-\mathrm{ix}=\frac{1-1-2\mathrm{ib}}{1+1+2a}$

বা, $-\mathrm{ix}=\frac{-2\mathrm{ib}}{2(1+a)}$

$\therefore x=\frac{b}{a+1};$ যা $x$ এর একটি বাস্তবমান।

$\therefore x$ এর একটি বাস্তব মান $\frac{\overline{z_1}}{z_1}=\overline{z_2}$ সমীকরকে সিদ্ধ করে। (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $z_2=a+ib$

এবং $z_3=x+iy$

এখানে, $\sqrt[3]{z_2}=z_3$

বা, $\sqrt[3]{a+ib}=x+iy$

বা, $a+ib=(x+iy{)}^3$

বা, $a+ib=x^3+3x^2\cdot iy+3x{i}^2{y}^2+i^3{y}^3$

বা, $a+ib=x^3-3x{y}^2+i(3x^{2}y-y^3)$

এখন, উভয়পক্ষ হতে বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,

$a=x^3-3x{y}^2$

এবং $b=3x^{2}y-y^3$

বামপক্ষ $=\left|z_3\right|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}$

ডানপক্ষ $=\sqrt{\frac{b}{2y}-\frac{a}{2x}}$

$=\sqrt{\frac{y(3x^2-y^2)}{2y}-\frac{x(x^2-3y^2)}{2x}}$

$=\sqrt{\frac{3x^2-y^2-x^2+3y^2}{2}}=\sqrt{\frac{2x^2+2y^2}{2}}=\sqrt{x^2+y^2}$

$\therefore \left|z_3\right|=\sqrt{\frac{b}{2y}-\frac{a}{2x}}$ (প্রমাণিত)

বিকল্প পদ্ধতি

দেওয়া আছে, $z_2=a+ib$

$z_3=x+\mathrm{iy}$

এখানে, $\sqrt[3]{z_2}=z_3$

বা, $\sqrt[3]{a+ib}=x+iy$

বা, $a+ib=(x+iy{)}^3$

বা, $a+ib=x^3+3x^2\cdot iy+3x{i}^2{y}^2+i^3{y}^3$

বা, $a+ib=x^3-3x{y}^2+i(3x^{2}y-y^3)$

এখন, উভয়পক্ষ হতে বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,

এবংবামপক্ষডানপক্ষপ্রমাণিত$\begin{array}{cc}& a=x^3-3x{y}^2\\ & \text{ এবং }b=3x^{2}y-y^3\\ & \text{ বামপক্ষ }=\left|z_3\right|\\ & =|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{2(x^2+y^2)}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{3x^2+3y^2-x^2-y^2}{2xy}}\\ & =\sqrt{\frac{3x^{3}y+3x{y}^3-x^{3}y-x{y}^3}{2xy}}\\ & =\sqrt{\frac{x(3x^{2}y-y^3)-y(x^3-3x{y}^2)}{2xy}}\\ & =\sqrt{\frac{x(3x^{2}y-y^3)}{2xy}-\frac{y(x^3-3x{y}^2)}{2xy}}\\ & =\sqrt{\frac{3x^{2}y-y^3}{2y}-\frac{x^3-3x{y}^2}{2x}}\\ & =\sqrt{\frac{b}{2y}-\frac{a}{2x}}=\text{ ডানপক্ষ }\\ & \therefore \left|z_3\right|=\sqrt{\frac{b}{2y}-\frac{a}{2x}}\text{ (প্রমাণিত) }\end{array}$