সৃজনশীলঃ ‘z=−12+−32,p(x)=x3+1…’ ঢাকা কলেজ ২০২৪ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে $P\left(x\right)=x^3+1$

$\therefore P\left(x\right)=0$

বা, $x^3+1=0$

বা, $x^3+1^3=0$

বা, $(x+1)(x^2-x+1)=0$

$\therefore x+1=0$অথবা$x^2-x+1=0$

এখন, $x+1=0$ হলে $x=1$

$x^2+x+1=02$ হলে,

$x=\frac{1\pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{-3}}{2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$

অর্থাৎ জটিল মূলদ্বয় $\alpha =\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$

$\beta =\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$

এখন বামপক্ষ = $={\alpha }^2+{\beta }^2$

$={\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$=\frac{1^2+(i\sqrt{3}{)}^2+2\sqrt{3}i}{4}+\frac{1^2+(i\sqrt{3}{)}^2+2\sqrt{3}i}{4}$

$=\frac{1-3+2\sqrt{3}i+1-3-2\sqrt{3}i}{4}$

$=\frac{1}{4}(2-6)$

$=\frac{1}{4}(-4)$

$=-1$

ডানপক্ষ

$\therefore {\alpha }^2+{\beta }^2=1$ [দেখানো হলো]

 দেওয়া আছে$z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}$

$\therefore \overline{z}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}$

এখন, z ও $\overline{z}$ এককের কাঙ্গনিক ঘনমূল ও একটির ওপর বর্গ।

সুতরাং, $z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}=\omega$

$\overline{z}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}={\omega }^2$

এখন, প্রদত্তরাশি, $=z^n+(\overline{z}{)}^n$

$={\omega }^n+{\left({\omega }^2\right)}^n$

$={\omega }^n+{\omega }^{2n}$

n এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে, n = 3m

প্রদত্ত রাশি $={\omega }^{3m}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m}={\left({\omega }^3\right)}^m+{\left({\omega }^3\right)}^{2m}=1+1=2$

প্রদত্ত রাশি,$n=3m+1$,

$n=3m+1,=(\omega {)}^{3m+1}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m+1}$

$={\left({\omega }^3\right)}^m\omega +{\left({\omega }^3\right)}^{2m}\cdot {\omega }^2$

$=\omega +{\omega }^2$

$=-1[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

যখন, $n=3m+2$,

প্রদত্ত রাশি $=({\omega }^{3m+2}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m+2}$

$={\left({\omega }^3\right)}^m\cdot {\omega }^2+{\left({\omega }^3\right)}^{2m}\cdot {\omega }^4$

$={\omega }^2+\omega$

$=-1[\because 1+\omega +{\omega }^2+0]$

সুরতাং, $z^n+(\overline{z}{)}^n=2$ হবে যখন n এর মান 3 দ্বারা ভিভাজ্য এবং $z^n+(\overline{z}{)}^n=-1$ হবে যখন n এর মান অন্য কোনোপূর্ণ সংখ্যা। (প্রমাণিত)