সৃজনশীলঃ ‘z1=2+3i,z2=1+2i,a=pω2+q+rω এবং b=pω+q+rω2…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭ – বিস্তার পরিমাপ ও সম্ভাবনা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$z_1=2+3i$ এবং

$z_2=1+2i$

$\therefore z_1-z_2=(2+3i)-(1+2i)=1+i$

সুতরাং, এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা, $\overline{z_1-z_2}=1-i$

এখন, $(1-i)$ এর বর্গমূল নির্ণয় করতে হবে।

$1-i=\frac{1}{2}(2-2i)$

$=\frac{1}{2}\left\{\right(\sqrt{2}+1)-2i-(\sqrt{2}-1\left)\right\}$

$=\frac{1}{2}\left\{\right(\sqrt{2}+1)-2i+(\sqrt{2}-1\left)i^2\right\}$$[\because i^2=-1]$

$=\frac{1}{2}\left[\right(\sqrt{\sqrt{2}+1}{)}^2-2\cdot \sqrt{\sqrt{2}+1}\cdot \sqrt{\sqrt{2}-1}\cdot i+\left(i\sqrt{\sqrt{2}-1}{)}^2\right]$

$=\frac{1}{2}{(\sqrt{\sqrt{2}+1}-i\sqrt{\sqrt{2}-1})}^2$

$\therefore$ নির্ণেয় বর্গমূল $=\pm \sqrt{\frac{1}{2}{(\sqrt{\sqrt{2}+1}-i\sqrt{\sqrt{2}-1})}^2}$

$=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\sqrt{2}+1}-i\sqrt{\sqrt{2}-1})$

দেওয়া আছে,

$a=p{\omega }^2+q+r\omega$

$b=p\omega +q+r{\omega }^2$

(যেখানে $\omega$ হলো এককের একটি জটিল ঘনমূল)

শর্তমতে, $a^3+b^3=0$

বা, $(a+b)(a^2-ab+b^2)=0$

বা, $(a+b)\{a^2+(\omega +{\omega }^2)ab+{\omega }^3{b}^2\}=0$$[\because \omega +{\omega }^2=-1$ এবং ${\omega }^3=1]$

বা, $(a+b)(a^2+ab\omega +ab{\omega }^2+b^2{\omega }^3)=0$

বা, $(a+b)\left\{a\right(a+b\omega )+b{\omega }^2(a+b\omega \left)\right\}=0$

বা, $(a+b)(a+b\omega )(a+b{\omega }^2)=0$

হয়, $a+b=0$

বা, $(p{\omega }^2+q+r\omega )+(p\omega +q+r{\omega }^2)=0$

বা, $p({\omega }^2+\omega )+2q+r(\omega +{\omega }^2)=0$

বা, $p(-1)+2q+r(-1)=0$$[\because 1+\omega +{\omega }^2=0⟹\omega +{\omega }^2=-1]$

বা, $-p+2q-r=0$

$\therefore 2q=p+r$

অথবা, $a+b\omega =0$

বা, $(p{\omega }^2+q+r\omega )+(p\omega +q+r{\omega }^2)\omega =0$

বা, $p{\omega }^2+q+r\omega +p{\omega }^2+q\omega +r{\omega }^3=0$

বা, $2p{\omega }^2+q(1+\omega )+r(\omega +1)=0$$[\because {\omega }^3=1]$

বা, $2p{\omega }^2+q(-{\omega }^2)+r(-{\omega }^2)=0$$[\because 1+\omega =-{\omega }^2]$

বা, ${\omega }^2(2p-q-r)=0$

বা, $2p-q-r=0$$[\because \omega \ne 0]$

$\therefore 2p=q+r$

অথবা, $a+b{\omega }^2=0$

বা, $(p{\omega }^2+q+r\omega )+(p\omega +q+r{\omega }^2){\omega }^2=0$

বা, $p{\omega }^2+q+r\omega +p{\omega }^3+q{\omega }^2+r{\omega }^4=0$

বা, $p{\omega }^2+q+r\omega +p\left(1\right)+q{\omega }^2+r\omega =0$$[\because {\omega }^3=1,{\omega }^4=\omega ]$

বা, $p(1+{\omega }^2)+q(1+{\omega }^2)+2r\omega =0$

বা, $p(-\omega )+q(-\omega )+2r\omega =0$$[\because 1+{\omega }^2=-\omega ]$

বা, $\omega (-p-q+2r)=0$

বা, $-p-q+2r=0$$[\because \omega \ne 0]$

$\therefore 2r=p+q$

সুতরাং, প্রমাণ পাওয়া যায় যে, $2p=q+r,2q=r+p$ এবং $2r=p+q$ (Proved)