সৃজনশীলঃ ‘Z1=a+ib,Z2=x+iy,f(x)=xn…’ শহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $z_1=a+\mathrm{ib}$

এবং $z_2=x+\mathrm{iy}$
$\therefore \overline{z_1}=a-\mathrm{ib}$ এবং $\overline{z_2}=x-\mathrm{iy}$
এখানে, $\sqrt[3]{z_1}=z_2$
বা, $\sqrt[3]{a+ib}=x+iy$
বা, $a+\mathrm{ib}=(x+\mathrm{iy}{)}^3$ [উভয় পক্ষকে ঘন করে]

বা, $a+ib=x^3+3x^{2}iy+3x(iy{)}^2+(iy{)}^3$
$[\because (a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3]$

বা, $a+ib=x^3+3x^{2}yi-3x{y}^2-y^{3}i$

$[\because i^2=-1$ এবং $i^3=-i]$

$\therefore a+ib=(x^3-3x{y}^2)+(3x^{2}y-y^3)i$ .............(1)

(1) নং সমীকরণের উভয় পক্ষ হতে বাস্তব ও অবাস্তব অংশ সমীকৃত করে পাই,

$a=x^3-3x{y}^2$ এবং $b=3x^{2}y-y^3$

বামপক্ষ $=\sqrt[3]{{\overline{z}}_1}=\sqrt[3]{a-ib}=\sqrt[3]{x^3-3x{y}^2-i(3x^{2}y-y^3)}$

$=\sqrt[3]{x^3-3x{y}^2-i3x^{2}y+i{y}^3}$

$=\sqrt[3]{x^3-3x^2\left(iy\right)+3x(iy{)}^2-(iy{)}^3}$

$[\because i^2=-1$ এবং $i^3=-i]$

$=\sqrt[3]{(x-iy{)}^3}=x-iy={\overline{z}}_2$ = ডানপক্ষ

$\therefore \sqrt[3]{z_1}=\overline{z_2}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^n$

$\therefore f(3+\frac{x}{2})={(3+\frac{x}{2})}^n$

${(3+\frac{x}{2})}^n$ এর বিস্তৃতিতে $(r+1)$-তম পদ $={}^n{C}_r{3}^{n-r}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{r}r=7$ ও 8 হলে $x^7$ ও $x^8$ এর সহগ পাওয়া যাবে।

$\therefore x^7$ এর সহগ $={}^n{C}_7{3}^{n-7}{\left(\frac{1}{2}\right)}^7$

এবং $x^8$ এর সহগ $={}^n{C}_8{3}^{n-8}{\left(\frac{1}{2}\right)}^8$
শর্তমতে, ${}^n{C}_7{3}^{n-7}{\left(\frac{1}{2}\right)}^7={}^n{C}_8{3}^{n-8}{\left(\frac{1}{2}\right)}^8$
বা, $\frac{♮n}{[7\lfloor n-7}\frac{3^n}{3^7\cdot 2^7}=\frac{\lfloor n}{\lfloor 8\lfloor n-8}\frac{3^n}{3^8}\cdot \frac{1}{2^8}$
বা, $\frac{1}{\lfloor 7(n-7)\lfloor n-8}=\frac{1}{8\lfloor 7\lfloor n-8\cdot 3.2}$
বা, $\frac{1}{n-7}=\frac{1}{48}$
বা, $n-7=48$
বা, $n=48+7=55$
$\therefore n=55$
নির্ণেয় মান : $x=55$.