সৃজনশীলঃ ‘z=2+ix…’ সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ ২০২৫ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\sqrt[3]{z}=a+ib$

বা, $z=(a+ib{)}^3=a^3+3a^2\times ib+3a(ib{)}^2+i^3{b}^3$

$=a^3+i3a^{2}b+3a^2{b}^2+\left(i^2\right)i{b}^3$

$=a^3+i3a^{2}b-3a{b}^2-i{b}^3[\because i^2=-1]$

$=(a^3-3a{b}^2)+i(3a^{2}b-b^3)$

$\therefore \overline{z}=(a^3-3a{b}^2)-i(3a^{2}b-b^3)=a^3-3a{b}^2-i3a^{2}b+i{b}^3$

$=a^3-3a{b}^2-i3a^{2}b-(-1)i{b}^3$

$=a^3-3a{b}^2-i3a^{2}b-i^2\times i\times b^3[\because i^2=-1]$

$=a^3-i3a^{2}b-3a{b}^2-i^3{b}^3$

$=(a{)}^3-3a^2(ib)+3\cdot a(ib{)}^2-(ib{)}^3=(a-ib{)}^3$

$\therefore \sqrt[3]{\overline{z}}=a-ib$

$\therefore \frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{\overline{z}}}=\frac{a+ib}{a-ib}=\frac{(a+ib)(a+ib)}{(a-ib)(a+ib)}=\frac{(a+ib{)}^2}{a^2-i^2{b}^2}$

$=\frac{a^2+2aib+i^2{b}^2}{a^2+b^2}[\because i^2=-1]$

$=\frac{(a^2-b^2)+i2ab}{a^2+b^2}[\because i^2=-1]$

$=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}+\frac{2ab}{a^2+b^2}$

$\therefore \mathrm{Re}\left(\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z}}\right)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2.}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে，$z=z+ix$ এবং －$\overrightarrow{z}=2－ix$ 

এখানে,，$\frac{\overline{z}}{z}=a-ib$

বা，$\frac{2-ix}{2+ix}=a-ib$

বা， $2-ix=2a-2ib+iax-i^{2}bx$

বা， $2-ix=2a-2ib+iax+bx[\because i^2=-1]$

বা，$bx+ix+iax=2-2a+2ib$

বা，$x(b+i+ia)=2-2a+2ib$

$\therefore x=\frac{2-2a+2ib}{b+i(1+a)}=\frac{(2-2a+2ib)\{b-i(1+a\left)\right\}}{\{b+i(1+a\left)\right\}\{b-i(1+a\left)\right\}}$

$=\frac{2b-2i(1+a)-2ab+2ai(1+a)+2i{b}^2-2i^{2}b(1+a)}{b^2-i^2(1+a{)}^2}$

$=\frac{2b-2i-2ia-2ab+2ia+2i{a}^2+2i{b}^2+2b+2ab}{b^2+(1+a{)}^2}[\because i^2=-1]$

$=\frac{4b-2i+2i(a^2+b^2)}{b^2+1+2a+a^2}=\frac{4b-2i+2i\times 1}{1+1+2a}[\because a^2+b^2=1]$

$=\frac{4b-2i+2i}{2+2a}=\frac{4b}{2+2a}=\frac{2\cdot 2b}{2(1+a)}=\frac{2b}{1+a}$

$\therefore x=\frac{2b}{1+a}$; যা $x$ এর একটি বাস্তব মান।

অতএব, $\frac{\overline{z}}{z}=a-ib$ সমীকরণকে $x$ এর একটি বাস্তব মান সিদ্ধ করে। (দেখানো হলো)