সৃজনশীলঃ ‘z=sin⁡θ এবং f(x)=cos⁡x.…’ ২০২৬ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $z=\sin \theta$

$\therefore \theta ={\sin }^{-1}z$

এখন, $\ln y=a\theta$ হলে, $\ln y=a{\sin }^{-1}z$
বা, $e^{iny}=e^{a{\sin }^{-1}z}$
বা, $y=e^{a{\sin }^{-1}}z$
$z$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dy}{dz}=e^{a{\sin }^{-1}z}\cdot \frac{a}{\sqrt{1-z^2}}$

বা, ${\left(\frac{dy}{dz}\right)}^2={\left(e^{a{\sin }^{-1}z}\right)}^2\cdot \frac{a^2}{1-z^2}$ [উভয়পক্ষে বর্গ করে]
বা, $(1-z^2){\left(\frac{dy}{dz}\right)}^2=a^2{\left(e^{a{\sin }^{-1}}z\right)}^2=a^2{y}^2$
আবার, $z$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$(1-z^2)2\frac{dy}{dz}\cdot \frac{d^{2}y}{d{z}^2}+{\left(\frac{dy}{dz}\right)}^2\cdot (-2z)=a^2\cdot 2y\cdot \frac{dy}{dz}$

বা, $(1-z^2)2\cdot \frac{dy}{dz}\cdot \frac{d^{2}y}{d{z}^2}-2z\frac{dy}{dz}\cdot \frac{dy}{dz}=2a^{2}y\cdot \frac{dy}{dz}$
$\therefore (1-z^2)\frac{d^{2}y}{d{z}^2}-z\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dz}}=a^{2}y$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$

$\therefore y=\left\{f\right(x){\}}^2=(\cos x{)}^2$

বা, $y={\cos }^{2}x$
এখন, $-\pi$ থেকে $\pi$ সীমার মাঝে $y={\cos }^{2}x$ ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x ও y এর নিম্নলিখিত মানগুলির তালিকা প্রস্তুত করি : 

x-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের 1 বাহু $=\frac{\pi }{10}$ ও $y$-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের 1 বাহু $=0.04$ একক ধরে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি গ্রাফ কাগজে স্থাপন করে পরস্পর যুক্ত করে $y={\cos }^{2}x$ এর লেখচিত্র অঙ্কন করি।