সৃজনশীলঃ ‘z=x+iy এবং (1−z1)2+(x2−1)=0.…’ ২০২৫ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $z=x+\mathrm{iy}$ এখন, $|z+2i|>3$
বা, $|x+iy+2i|>3$
বা, $|x+i(y+2)|>3$
বা, $\sqrt{x^2+(y+2{)}^2}>3$
বা, $x^2+(y+2{)}^2>9$ [বর্গ করে]
$\therefore (x-0{)}^2+\{y-(-2){\}}^2>3^2$

$(0,-2)$ কেন্দ্র এবং ও একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের বাইরের সকল বিন্দুকে নির্দেশ করে।  

দেওয়া আছে , ${(1-z_1)}^2+(x^2-1)=0$
বা, ${(1-z_1)}^2=-(x^2-1)$
বা, ${(1-z_1)}^2=i^2(x^2-1)[\because i^2=-1]$
বা, $1-z_1=i\sqrt{x^2-1}$

 $\therefore z_1=1-i\sqrt{x^2-1^2}=\frac{1}{2}\{2-2i\sqrt{(x+1)(x-1)}\}$ 

$\begin{array}{cc}& =\frac{1}{2}\left\{\right(x+1)-(x-1)-2i\sqrt{(x+1)(x-1)}\}\\ & =\frac{1}{2}\left\{\right(x+1)+i^2(x-1)-2i\sqrt{(x+1)(x-1)}\}[\because i^2=-1]\\ & =\frac{1}{2}\left\{\right(\sqrt{x+1}{)}^2-2\cdot \sqrt{x+1}\cdot i\sqrt{x-1}+\left(i\sqrt{x-1}{)}^2\right\}\\ & =\frac{1}{2}(\sqrt{x+1}-i\sqrt{x-1}{)}^2\\ \therefore \sqrt{z_1}& =\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{x+1}-i\sqrt{x-1}{)}^2}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+1}-i\sqrt{x-1})\end{array}$

$\sqrt{z_1}=P-iQ$ হলে , $P-iQ=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+1}-i\sqrt{x-1})$ 

$\begin{array}{cc}& \therefore P+iQ=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+1}+i\sqrt{x-1})\\ & \therefore |P+iQ|=\sqrt{{\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\right(\sqrt{x+1}\left)\right\}}^2+{\{\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x-1}\left)\right\}}^2}\\ & =\sqrt{\frac{1}{2}(x+1)+\frac{1}{2}(x-1)}\\ & =\sqrt{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x}=\sqrt{x}\end{array}$ 

নির্ণেয় $|P+\mathrm{iQ}|=\sqrt{x}$.