সৃজনশীলঃ ‘z=x+iy এবং p2+p+1=0…’ সোনার বাংলা কলেজ ২০২৪ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

$|z+4|+|z-4|=10$

বা, $|x+iy+4|+|x+iy-4|=10$

বা, $\sqrt{(x+4{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}=10$

বা, $\sqrt{(x+4{)}^2+y^2}=10-\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}$

বা, $(x+4{)}^2+y^2={\{10-\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}\}}^2$

বা, $x^2+8x+16+y^2=100+(x-4{)}^2+y^2-20\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}$

বা, $x^2+y^2+8x+16=100+x^2+16-8x+y^2-20\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}$

বা, $16x-100=-20\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}$

বা, $4(4x-25)=-20\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}$

বা, $4x-25=-5\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}$

বা, $(4x-25{)}^2=25\left\{\right(x-4{)}^2+y^2\}$

বা, $16x^2-200x+625=25(x^2-8x+16+y^2)$

বা, $16x^2-200x+625=25x^2-200x+400+25y^2$

বা, $25x^2-200x+400+25y^2-16x^2+200x-625=0$

বা, $9x^2+25y^2=225$

বা, $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$

বা, $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$ ; সমীকরণটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে।

$p^2+p+1=0$সমীকরণের মূলদ্বয়$\alpha ,\beta$

এখানে $\pi ,\alpha =\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$

$\beta =\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$

এখন, $\alpha ,\beta$ এককের কল্পনিকঘনমূল ও একটি অপরটির ওপর বর্গ।

এখন,$\alpha =\omega$

$\beta ={\omega }^2$

এখন, প্রদত্ত রাশি, $={\alpha }^S+{\beta }^S$

$={\omega }^S+{\left({\omega }^2\right)}^S$

$={\omega }^S+{\omega }^{2S}$

S এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য হরে, S = 3m

প্রদত্ত রাশি,$={\omega }^{3m}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m}={\left({\omega }^3\right)}^m+{\left({\omega }^3\right)}^{2m}=1+1=2$

S এর মান অপর কোনো পূর্ণসংখ্যা হরে S = 3m + 1 ও S = 3m + 2

যখন, $s=3m+1$

প্রদত্ত রাশি, $=(\omega {)}^{3m+1}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m+1}$

$={\left({\omega }^3\right)}^m\cdot \omega +{\left({\omega }^3\right)}^{2m}{\omega }^2$

$=\omega +{\omega }^2=-1[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

যখন, $S=3m+2$

প্রদত্ত রাশি, $=(\omega {)}^{3m+2}+(\omega 2{)}^{3m+2}$

$={\left({\omega }^3\right)}^m\cdot {\omega }^2+{\left({\omega }^3\right)}^{2m}\cdot {\omega }^4$

$={\omega }^2+\omega =-1[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

$\therefore {\alpha }^5+\beta =$এরমানদ্বারাবিভাজ্যএরমানঅপরসংখ্যা$\{\begin{array}{c}2,sএরমান3দ্বারাবিভাজ্য\\ -1,sএরমানঅপরসংখ্যা\end{array}$

(প্রমাণিত)