সৃজনশীলঃ ‘z=x+iy একটি জটিল…’ ২০২৫ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $z=x+iys=$ is প্রদত্ত সমীকরণ, $|z-5|=3$
বা, $|x+iy-5|=3$ [মান বসিয়ে]
বা, $|x-5+iy|=3$
বা, $\sqrt{(x-5{)}^2+y^2}=3$
ri(1-s]

বা, $(x-5{)}^2+y^2=3^2$
বা, $(x-5{)}^2+(y-0{)}^2=3^2$
ইহা একটি বৃত্তের সমীকরণ; যার কেন্দ্র  $(5,0)$ এবং ব্যাসার্ধ  $=3$ একক নির্ণেয় সমীকরণটির কেন্দ্র  $(5,0)$ এবং ব্যাসার্ধ  $3$ একক।

দেওয়া আছে, $z=x+iy$ 

$\begin{array}{cc}\therefore iz& =i(x+iy)=ix+i^{2}y\\ & =-y+ix[\because i^2=-1]\\ z+iz& =x+iy+i(x+iy)=x+iy+ix+i^{2}y\\ & =x+i(x+y)-y[\because i^2=-1]\\ & =(x-y)+i(x+y)\end{array}$ 

এবং $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$
বা, $(|z|{)}^2={\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}^2$ [বর্গ করে]

$\therefore |z{|}^2=x^2+y^2$

$z=x+iy$ জটিল সংখ্যাটির ক্রমজোড় ( $x,y$ )
$iz=-y+ix$ জটিল সংখ্যাটির ক্রমজোড়  $(-y,x)$
$z+iz=(x-y)+i(x+y)$ জটিল সংখ্যাটির ক্রমজোড়  $\left\{\right(x-y),(x+y\left)\right\}$
$\therefore$ ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু $z$, iz $3z+iz$ নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,

$\begin{array}{cc}& =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ -y& x& 1\\ x-y& x+y& 1\end{array}\right|\\ & =\frac{1}{2}\left|x\right(x-x-y)-y(-y-x+y)+1(-xy-y^2-x^2+xy)|\end{array}$ 

[$\because$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সর্বদা ধনাত্মক হয়]

$\begin{array}{cc}& =\frac{1}{2}\left|x\right(-y)-y(-x)+1(-x^2-y^2)|\\ & =\frac{1}{2}|-xy+xy-x^2-y^2|=\frac{1}{2}|-x^2-y^2|\end{array}$

$={\frac{1}{2}⊢(x^2+y^2)|=\frac{1}{2}(x^2+y^2)=\frac{1}{2}|z|}^2$ বর্গ একক .

 নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল  $\frac{1}{2}|z{|}^2$ বর্গ একক