সৃজনশীলঃ ‘z=x+iy,z1=a+ib,z2=c+id তিনটি জটিল…’ সরকারি বজ্রমোহন কলেজ ২০২৪ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, b = 729

ধরি,

$x=\sqrt[6]{-b}$

$\Rightarrow x=\sqrt[6]{-729}$

$\Rightarrow x^6=-729$ [উভয়পক্ষের ঘাত 6 উন্নিত করে]

$\Rightarrow x^6=729;2[\because i^2=-1]$

$\Rightarrow {\left(x^3\right)}^2=(27i{)}^2$

$\Rightarrow x^3=\pm 27i$ [বর্গমূল করে]

$\Rightarrow x^3\pm 27i=0$

$\Rightarrow x^3\pm 27i(-1)=0$

$\Rightarrow x^3\pm 27i3=0$

$\Rightarrow (x{)}^3\pm (3i{)}^3=0$

$\Rightarrow (x\pm 3i)\{(x^2\mp x\cdot 3i+(3i{)}^2\}=0$

$\Rightarrow (x\pm 3i)(x^2\pm 3xi+9i^2)=0$

$\Rightarrow (x\pm 3i)(x^2\pm 3xi-9)=0$

হয়,                                   আবার,

$x\pm 3i=0$                   $x^2\pm 3xi-9=0$

$\Rightarrow x=\pm 3i$

$\begin{array}{cc}& x^2+3xi-9=0\\ \Rightarrow & x=\frac{-3i\pm \sqrt{(3i{)}^2-4.1\cdot (-9)}}{2\cdot 1}\\ =& \frac{-3i\pm \sqrt{9i^2+36}}{2}\\ =& \frac{-3i\pm \sqrt{-9+36}}{2}\\ =& \frac{-3i\pm \sqrt{27}}{2}\end{array}$

$\therefore x=\frac{-3i\pm 3\sqrt{3}}{2}=\frac{3(-i\pm \sqrt{3})}{2}$

(-) নিয়ে,

$x^2-3xi-9=0$

$\Rightarrow x=\frac{-(-3i)\pm \sqrt{(-3i{)}^2-4\cdot 1(-9)}}{2\cdot 1}$

$=\frac{3i\pm \sqrt{9i^2+36}}{2}$

$=\frac{3i\pm \sqrt{-9+36}}{2}$

$=\frac{3i\pm \sqrt{27}}{2}$

$\therefore x=\frac{3i\pm 3\sqrt{3}}{2}=\frac{3(i\pm \sqrt{3})}{2}$

$\therefore \sqrt[6]{-b}$ এর মানসমূহ $\pm 3i;\pm \frac{3(i\pm \sqrt{3})}{2}$

দেওয়া আছে,

$z=x+iy;z_1=a+ib;z_2=c+id$

$z_1{z}_2=z$

$\Rightarrow (a+ib)(c+id)=x+iy$

$\Rightarrow ac+iad+ibc+i^{2}bd=x+iy$

$\Rightarrow ac+i(bc+ad)-bd=x+iy$

$\Rightarrow (ac-bd)+i(bc+ad)=x+iy.....\left(i\right)$

(i) নং সমীকরণের বাস্তব ও অবাস্তব অংশ সমীকৃত করে পাই,

$x=ac-bd$ ... (ii) এবং y=b 6+a d ..... (iii)

এখন,

${\overline{z}}_1{\overline{z}}_2=\overline{(a+ib)}\cdot \overline{(c+id)}$

$=(a-ib)(c-id)$

$=ac-iad-ibc+i^{2}bd$

$=ac-i(ad+bc)-bd$

$=(ac-bd)-i(ad+bc)$

= x-iy [(ii) নং এবং (iii) নং হতে পাই]

$\therefore {\overline{z}}_1{\overline{z}}_2=\overline{z}$ [দেখানো হলো]